Limites

• Limite de una función

Un limite se calcula, siempre que sea posible, evaluando la función en el valor indicado. Por ejemplo, si f (x)= 3x², el siguiente limite se puede calcular como se muestra a continuación:

                                                                                       lim f (x)= f (2)

                                                                                       x->2  

En efecto:

                                                               lim f (x) =lim(3x²)= 3(2)²=f (2)=3(2)² =12

                                                                x->2          x->2

Así que podemos enunciar la siguiente propiedad:

1.  Si a es un elemento del dominio de f (x) y lim f (x) existe, entonces se cumple lo siguiente: 

                                                                                        lim f(x) = f(a)

                                                                                        x->a

Limite de funciones polinomiales

Una funcion f es polinomial si es de la forma:

f(x)= a_nxⁿ +a_n-1x^n-1+a_n-2x^n-2+…+a₃x³+a₂x²+a₁x+a₀

_{El dominio de cualquier polinomio son todos los numeros reales, es decir, domf = R}

_Ejemplo:

                         _{lim f(x) donde f(x)=} 3x⁴-2x³+7x²-11x-4

                         x->2

                         limf (x) = f(2)

                                         =3(2)⁴-2(2)³+7(2)²-11(2)-4=34

Limite de funciones racionales

A la función de la forma: 

f(x)= P(x)/Q(x)

Se le llama función racional, donde Q (x) es diferente a 0. El dominio de las funciones racionales es el conjunto de todos los números reales, tal que el denominador sea diferente de cero.

Para este tipio de funciones no siempre es posible aplicar la propiedad:

                                      

                                                                                 limf(x) =f (a)

                                                                                 x->a

• Propiedades

1.Propiedad Lim c=c.

Si C es una constante, el limite de ese, cuando x tiende a.

Ejemplo:

                                                                   Lim5=5
                                                                   x->2

2. Propiedad Limx=a

El limite de x cuando x tiende al valor de a va a ser igual al valor de a 

Ejemplo:

                                                                  Lim x=3
                                                                  x->3

3. Propiedad Lim cf(x) =c Limf(x)

Si c es una constante y f una función, el limite del producto, constante por funcion cuando x tiende al valor a es igual al producto de la constante por el limite de la función.

Ejemplo: 

                                                        Lim4x=4lim=4(2)=8
                                                         x->2       x+2

4.Propiedad Lim f(x) g(x) =Limf(x) limg(x)
                               x->a                          x->a          x->a

Si f y g son funciones del limite de un producto de funciones, cuando x tiende al valor de a es igual al producto de los limites de las funciones.

 Ejemplo:
                                                        Lim(2x+1)(3x²)
                                                        x->3

                                                        =(2(3)+1)(3(3)²)

                                                        =(7)(27)

                                                        Limf(x)g(x)=189

                                                        x->3

5. Propiedad Lim f(x).g(x)

                               x->a

Ejemplo:

                                                        Lim(4x²-2)(3x+1)

                                                        =Lim(4x²-2)Lim(3x+1)

                                                        =(4(0)²-2)(3(0)+1)

                                                        =(-2)(1)

                                                        =-2

6. Propiedad Limf(x)/g(x)

                               x->a
Ejemplo:

                                                        Lim(5x³+3x+2)/4x²+1)

                                          x->-2

                                          =Lim(5(-2)³+3(-2)+2)/4(-2)²+1)

                                          =5(-8)-6+2/4(4)+1

                                          = -40-6+2/16+1

                                          = -44/17

• Casos de Indeterminación

I. Caso

                                 y=x²-x-12/x-4                                    =(x-4)(x+3)/x-4=x+3=4+3=7

                                 x->4

                                 y=16-4-12/4-4

                                    =0/0

II. Caso

     

 Limy³-27/y²-9            Lim(y-3)(y²+3y+9)/(y-3)=(y+3)=y²+3y+9/y+3=9+9+9/3+3=27/6            

 x->3

=(3)³-27/(3)²-9

=0/0

Mi vídeo de Limites:

http://www.youtube.com/watch?v=caMeHBZ-72g