martes, 5 de junio de 2012

Números Reales

Los Números Reales son todos los que conocemos, en el cual solo hay dos tipos de números que son: los Números Reales y los Imaginarios. Cualquier numero que se nos ocurra y que se pueda localizar en la recta numérica horizontal, se dice que es un numero real y se representa mediante la letra R. Por otro lado existen números que no se pueden localizar en la recta numérica y estos son los números imaginarios y lo representamos con la letra I.
Los números reales se pueden clasificar como racionales y se representan con la letra Q. Y los numeros Irracionales se representan con Qc.Todo numero Qc se puede expresar en una fracción por ejemplo a/b  en donde a y b pueden ser números enteros positivos y negativos.
Una cualidad QC es que su cifra decimal no es periódica y por esa razón se le conoce con ese nombre. Por ejemplo:


  • 3.141592654...
  • 1.414213362...
  • 1.6180339887...

Los numeros los podemos clasificar en Imaginarios y Reales y estos en Irracionales y Racionales; los racionales en Fraccionarios y enteros, y los enteros en Negativo, Ceros y Naturales.









lunes, 4 de junio de 2012

Sistemas de Coordenadas Lineales y Rectangulares

Se conoce como abscisa (vocablo derivado del latín abscisa, “cortada”) a una coordenada de dirección horizontal que aparece en un plano cartesiano rectangular y que se expresa como la distancia que existe entre un punto y el eje vertical. El denominado eje de abscisas representa al eje de coordenadas horizontal.
El sistema de referencia en relación a un eje (una recta), dos (un plano) o tres ejes (en el espacio) que resultan perpendiculares entre sí y que coinciden en un cierto punto que se identifica con el nombre de origen de coordenadas, se conoce como coordenadas cartesianas.
En un plano, la coordenada cartesiana X recibe el nombre de abscisa, mientras que la coordenada cartesiana Y se distingue con la expresión “ordenada”.
Cuentan los expertos en la materia que el sistema cartesiano se ha bautizado en honor al filósofo, científico y matemático Rene Descartes (1596-1650), quien buscó respaldar sus razonamientos filosóficos a partir de un punto de inicio sobre el cual edificar todo el conocimiento. Descartes, como sabrán muchos de ustedes, suele estar considerado como el padre de la geometría analítica.


En el marco de un sistema de coordenadas lineal, un punto cualquiera que forme parte de una determinada recta puede vincularse y ser simbolizado por medio de un número real (el cual será positivo si se trata de un punto localizado a la derecha de O o negativo si se encuentra en la porción izquierda). El centro de coordenadas O corresponde al valor 0.






Desigualdades


Definición:Si a y b son números reales positivos y a - b es positivo, decimos que a es mayor que b, y escribimos a>b. En otras palabras: 
Si a, b + ∈ R+ y + a − b ∈ R+, a > b o bien b < a.
Los símbolos > y < se llaman símbolos de desigualdades.

Entre las desigualdades más importantes que aparecen en el cálculo están aquellas los cuales contienen valores absolutos. Veamos antes la definición de valor absoluto.
Definición: Para todo número x definimos el valor absoluto de x como sigue:

|x|= {x,  x≥0
|x|= {-x,  x<0

El número no negativo  |x| se llama el valor absoluto de x y representa la distancia en la recta real que hay entre el punto cuya ordenada es x y el origen (0,0), sin importar la dirección.

Propiedades básicas:
  1. |x| ≥0
  2. X ≤ |x|
  3. |x| = |-x|
  4. |x| = x2
  5. |xy| = |x||y|
  6. |x| ≤ x ≤ |x|
  7. |1/xy| = |1/x||1/y|

Ejemplo:
  a) 13-4x >1
     -4x+13-13 >1-13
     -4x >-12
     -4x/-4 > -12/-4
        x < 3











Intervalos

Introducción:
Se llama intervalo al conjunto de números reales comprendidos entre otros dos dados:
 a y b que se llaman extremos del intervalo.


  • Intervalo abierto
Intervalo abierto, (a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores que b.

(a, b) = {x  R  / a < x < b}
recta

  • Intervalo cerrado
Intervalo cerrado, [a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b.

[a, b] = {x  R  / a ≤ x ≤ b}
recta

  • Intervalo semiabierto por la izquierda
Intervalo semiabierto por la izquierda, (a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores o iguales que b.

(a, b] = {x  / a < x ≤ b}
rceta

  • Intervalo semiabierto por la derecha
Intervalo semiabierto por la derecha, [a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores que b.

[a, b) = {x / a ≤ x < b}
recta
Cuando queremos nombrar un conjunto de puntos formado por dos o más de estos intervalos, se utiliza el signo U (unión) entre ellos.








domingo, 3 de junio de 2012

Funciones

Introducción.
Sean A y B dos conjuntos dados, una función de A en B es una regla de correspondencia que asigna a cada elemento de A uno y solamente uno de B. 
En una función:    A es el dominio de la función.
                          B es el contra dominio de la función.
El conjunto de elementos de  B a los que corresponde alguno de  A es el rango o imagen de la función.


  • Dominio y Contradominio.
El dominio de una función se define como el conjunto de todos los elementos de "x" para los cuales se encuentra definida la función. Por ejemplo, sea f(x)= 1/x, el dominio de la función son todos los números reales, excepto el cero, ya que 1/0 no existe.

Ahora, el rango, contradominio, imagen o codominio de una función, son todos los elementos a los cuales te manda la función cuando aplicas la regla de correspondencia. Por ejemplo, sea f(x)= x², el dominio son todos los numeros reales, y el contradominio de f(x), son todos los reales positivos. 
Ejemplo:

x = {1,2,3,4,5,6}

y = {1,4,9,16,25,36}



  • Clasificaciones
Función Inyectiva.
Una función f es inyectiva, univalente o uno-uno si y solo si cada f(x) en el recorrido es la imagen de exactamente un único elemento del dominio. Una función es inyectiva si todos los elementos del dominio tienen imágenes distintas.

Función Sobreyectiva
Sea f una función de A en B, f es una función sobreyectiva (también llamada epiyectiva) si y solo si cada elemento de B es imagen de al menos un elemento de A, bajo f, o dicho en palabras mas sencillas, cuando cada elemento de B es la imagen de cómo mínimo un elemento de A.
Función Biyectiva
Sea f una función de A en B, f es una función biyectiva si y solo si f es sobreyectiva e inyectiva a la vez.




  • Operaciones

Suma de funciones

Sean f y g dos funciones reales de variable real definidas en un mismo intervalo. Se llama suma de ambas funciones, y se representa por f + g, a la función definida por:

(f + g)(x) = f(x) + g(x)}

Ejemplo:
f (x)= 5x+3y ; g (x)= 2x-1
[f+g] (x)= (5x+3) + (2x-1)= 7x+2
{(x,f(x) +g (x))/f(x) + g(x)= 7x+2;XER}


Resta de funciones

Del mismo modo que se ha definido la suma de funciones, se define la resta de dos funciones reales de variable real f y g, como la función

(f - g)(x) = f(x) - g(x)

Para que esto sea posible es necesario que f y g estén definidas en un mismo intervalo.
Ejemplo:
f (x)= 5x+3y ; g (x)= 2x-1
[f-g] (x)= (5x+3) - (2x-1)= 5x+3-2x+1= 3x+4
{(x,f(x) -g (x))/f(x) - g(x)= 3x+4;XER}




Producto de funciones

Sean f y g dos funciones reales de variable real, y definidas en un mismo intervalo. Se llama función producto de f y g a la función definida por

(f.g)(x) = f(x).g(x)


Ejemplo:
f (x)= 5x+3y ; g (x)= 2x-1
[f.g] (x)= (5x+3) (2x-1)= 10x2+x-3
{(x,f(x) .g (x))/f(x). g(x)= 10x2+x-3;XER}

Cociente de funciones

Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, y definidas en un mismo intervalo, se llama función cociente de f y g a la función definida por

(f/g)(x) = f(x)/g(x)

(La función f/g está definida en todos los puntos en los que la función g no se anula.)











Limites


  • Limite de una función

Un limite se calcula, siempre que sea posible, evaluando la función en el valor indicado. Por ejemplo, si f (x)= 3x2, el siguiente limite se puede calcular como se muestra a continuación:

                                                                                       lim (x)=(2)
                                                                                       x->2  

En efecto:

                                                               lim f (x) =lim(3x2)= 3(2)2=f (2)=3(2)2 =12
                                                                x->2          x->2


Así que podemos enunciar la siguiente propiedad:

  1.  Si a es un elemento del dominio de f (x) y lim f (x) existe, entonces se cumple lo siguiente: 


                                                                                        lim f(x) = f(a)
                                                                                        x->a

Limite de funciones polinomiales
Una funcion f es polinomial si es de la forma:

f(x)= anxn +an-1xn-1+an-2xn-2+…+a3x3+a2x2+a1x+a0

El dominio de cualquier polinomio son todos los numeros reales, es decir, domf = R

Ejemplo:
                         lim f(x) donde f(x)3x4-2x3+7x2-11x-4
                         x->2

                         limf (x) = f(2)
                                         =3(2)4-2(2)3+7(2)2-11(2)-4=34

Limite de funciones racionales
A la función de la forma: 

f(x)= P(x)/Q(x)

Se le llama función racional, donde Q (x) es diferente a 0. El dominio de las funciones racionales es el conjunto de todos los números reales, tal que el denominador sea diferente de cero.

Para este tipio de funciones no siempre es posible aplicar la propiedad:
                                      
                                                                                 limf(x) =f (a)
                                                                                 x->a


  • Propiedades

1.Propiedad Lim c=c.


Si C es una constante, el limite de ese, cuando x tiende a.

Ejemplo:
                                                                   Lim5=5
                                                                   x->2


2. Propiedad Limx=a


El limite de x cuando x tiende al valor de a va a ser igual al valor de a 

Ejemplo:
                                                                  Lim x=3
                                                                  x->3


3. Propiedad Lim cf(x) =Limf(x)


Si c es una constante y f una función, el limite del producto, constante por funcion cuando x tiende al valor a es igual al producto de la constante por el limite de la función.

Ejemplo: 
                                                        Lim4x=4lim=4(2)=8
                                                         x->2       x+2


4.Propiedad Lim f(x) g(x) =Limf(x) limg(x)
                               x->a                          x->a          x->a

Si f y g son funciones del limite de un producto de funciones, cuando x tiende al valor de a es igual al producto de los limites de las funciones.
 Ejemplo:
                                                        Lim(2x+1)(3x2)
                                                        x->3

                                                        =(2(3)+1)(3(3)2)
                                                        =(7)(27)
                                                        Limf(x)g(x)=189
                                                        x->3

5. Propiedad Lim f(x).g(x)
                               x->a
Ejemplo:
                                                        Lim(4x2-2)(3x+1)
                                                        =Lim(4x2-2)Lim(3x+1)
                                                        =(4(0)2-2)(3(0)+1)
                                                        =(-2)(1)
                                                        =-2

6. Propiedad Limf(x)/g(x)
                               x->a
Ejemplo:
                                                        Lim(5x3+3x+2)/4x2+1)
                                          x->-2
                                          =Lim(5(-2)3+3(-2)+2)/4(-2)2+1)
                                          =5(-8)-6+2/4(4)+1
                                          = -40-6+2/16+1
                                          = -44/17





  • Casos de Indeterminación
I. Caso
                                 y=x2-x-12/x-4                                    =(x-4)(x+3)/x-4=x+3=4+3=7
                                 x->4

                                 y=16-4-12/4-4
                                    =0/0

II. Caso
     
 Limy3-27/y2-9            Lim(y-3)(y2+3y+9)/(y-3)=(y+3)=y2+3y+9/y+3=9+9+9/3+3=27/6            
 x->3
=(3)3-27/(3)2-9
=0/0

Mi vídeo de Limites:










sábado, 2 de junio de 2012

Derivada


  • Derivación de Funciones
Una de las ideas básicas en Calculo Matemático es el concepto de Derivada. 

Ejemplo:




  • Formulas de Derivación
LAS FORMULAS GENERALES PARA DERIVAR SON:


1.- DERIVADA DE UNA CONSTANTE   


dc/dx=0

2.-DERIVADA DE UNA VARIABLE CON RESPECTO A SI MISMA  


dx/dx=1

3.-DERIVADA DE UNA SUMA ALGEBRAICA 


 d(u+v-w)/dx=du/dx+dv/dx-dw/dx


4.-DERIVADA DE UNA POTENCIA 


 d(v^n)/dx=nv^(n-1) dv/dx

5.-DERIVADA DE UN PRODUCTO  


d(u v)/dx=u dv/dx + v du/dx

6.-DERIVADA DE UN COCIENTE  


d(u/v)/dx=(v du/dx - u dv/dx)/v^2

7.-DERIVADA DE UNA CONSTANTE SOBRE UNA VARIABLE 


d(c/v)/dx=( - c dv/dx)/v^2

8.-DERIVADA DE UNA VARIABLE SOBRE UNA CONSTANTE  
    
d(v/c)/dx=1/c dv/dx

  • Ejemplo:


                                                                  y=x2-3x
                                                                  y=d(x2)-d(3x)
                                                                  y=2x2-1-3d(x)
                                                                  y=2x-3