Funciones

Introducción.

Sean A y B dos conjuntos dados, una función de A en B es una regla de correspondencia que asigna a cada elemento de A uno y solamente uno de B. 

En una función:    A es el dominio de la función.

                          B es el contra dominio de la función.

El conjunto de elementos de  B a los que corresponde alguno de  A es el rango o imagen de la función.

• Dominio y Contradominio.

El dominio de una función se define como el conjunto de todos los elementos de "x" para los cuales se encuentra definida la función. Por ejemplo, sea f(x)= 1/x, el dominio de la función son todos los números reales, excepto el cero, ya que 1/0 no existe.

Ahora, el rango, contradominio, imagen o codominio de una función, son todos los elementos a los cuales te manda la función cuando aplicas la regla de correspondencia. Por ejemplo, sea f(x)= x², el dominio son todos los numeros reales, y el contradominio de f(x), son todos los reales positivos. 

Ejemplo:

x = {1,2,3,4,5,6}

y = {1,4,9,16,25,36}

• Clasificaciones

Función Inyectiva.

Una función f es inyectiva, univalente o uno-uno si y solo si cada f(x) en el recorrido es la imagen de exactamente un único elemento del dominio. Una función es inyectiva si todos los elementos del dominio tienen imágenes distintas.

Función Sobreyectiva

Sea f una función de A en B, f es una función sobreyectiva (también llamada epiyectiva) si y solo si cada elemento de B es imagen de al menos un elemento de A, bajo f, o dicho en palabras mas sencillas, cuando cada elemento de B es la imagen de cómo mínimo un elemento de A.

Función Biyectiva

Sea f una función de A en B, f es una función biyectiva si y solo si f es sobreyectiva e inyectiva a la vez.

• Operaciones

Suma de funciones

Sean f y g dos funciones reales de variable real definidas en un mismo intervalo. Se llama suma de ambas funciones, y se representa por f + g, a la función definida por:

(f + g)(x) = f(x) + g(x)}

Ejemplo:

f (x)= 5x+3y ; g (x)= 2x-1

[f+g] (x)= (5x+3) + (2x-1)= 7x+2

{(x,f(x) +g (x))/f(x) + g(x)= 7x+2;XER}

Resta de funciones

Del mismo modo que se ha definido la suma de funciones, se define la resta de dos funciones reales de variable real f y g, como la función

(f - g)(x) = f(x) - g(x)

Para que esto sea posible es necesario que f y g estén definidas en un mismo intervalo.

Ejemplo:

f (x)= 5x+3y ; g (x)= 2x-1

[f-g] (x)= (5x+3) - (2x-1)= 5x+3-2x+1= 3x+4

{(x,f(x) -g (x))/f(x) - g(x)= 3x+4;XER}

Producto de funciones

Sean f y g dos funciones reales de variable real, y definidas en un mismo intervalo. Se llama función producto de f y g a la función definida por

(f.g)(x) = f(x).g(x)

Ejemplo:

f (x)= 5x+3y ; g (x)= 2x-1

[f.g] (x)= (5x+3) (2x-1)= 10x²+x-3

{(x,f(x) .g (x))/f(x). g(x)= 10x²+x-3;XER}

Cociente de funciones

Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, y definidas en un mismo intervalo, se llama función cociente de f y g a la función definida por

(f/g)(x) = f(x)/g(x)

(La función f/g está definida en todos los puntos en los que la función g no se anula.)